\documentclass[12pt, a4paper]{article}
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\newcommand{\bvec}[1]{\ensuremath{\mathbf{#1}}}

\begin{document}
	一篇很怪的笔记，可能不太符合主流说法。
	
	\section{表世界量子力学}
	
	量子力学有很多种表达方法，
	比如最为抽象的Dirac记号，
	或者形象一点的位置表象（\textsl{我个人称之为表世界}）。
	我们先探讨单一粒子的情况。
	假定我们已经了解了Dirac记号下的量子力学
	（\textsl{Dirac记号说来话就太长了，参考Cohen《量子力学》}。）
	
	%\subsection{基本知识}
	Dirac记号中，系统的状态 ket $\ket{\Psi}$ 是一个向量；而在表世界中，系统的状态被表示为波函数：
	\begin{equation}
		\Psi = \Psi(x,y,z,t)
	\end{equation}
	Dirac记号中，内积 $\braket{\Psi}{\Phi}$ 是向量乘法；而在表世界中，内积被表示为积分：
	\begin{equation}
		\int \Psi^* \Phi \dd x \dd y \dd z
	\end{equation}
	Dirac记号中，算符$\hat A$ 是矩阵或线性变换，求解算符的本征函数 $\hat A \Psi_n = a_n \Psi_n$相当于求解矩阵的本征向量；
	而在表世界中，算符被表示为一种线性运算，求解算符的本征函数相当于求解一个微分方程；
	以下列举一些常用的算符以及其本征函数（大部分以一维为例）：
	\begin{itemize}
	\item 位置算符 $\hat x, \hat y,\hat z$：
	\begin{equation}
		\hat x = x 
		\qquad \hat y = y 
		\qquad \hat z = z
	\end{equation}
	位置算符的本征函数比较特别，需要一些\textsl{特别的注意力} 才能发现其是$\delta$函数
	（\textsl{据说Dirac当年就是为了这碟醋才包了$\delta$函数这盘饺子}）
	其中 $x$代表变量，而$x_n$代表一个确定的本征值：
	\begin{equation}
		x \Psi_n = x_n \Psi_n \qquad \Psi_n = \delta(x-x_n)
	\end{equation}
	\item 动量算符 $\hat p_x, \hat p_y,\hat p_z$：
	\begin{equation}
		\hat p_x = - i\hbar \pdv{}{x}
		\qquad \hat p_y = - i\hbar \pdv{}{y}
		\qquad \hat p_z = - i\hbar \pdv{}{z}
	\end{equation}
	动量算符的本征函数是复指数函数
	\begin{equation}
		 - i\hbar \pdv{}{x} \Psi_n = p_n \Psi_n \qquad \Psi_n = C e^{\frac{i}{\hbar} p_n x}
	\end{equation}
	一提到复指数函数，我们就立刻想到Fourier变换，其将一个函数分解为一组三角函数的累和。
	因此Fourier变换在量子力学中也是很重要的。
	\item 角动量算符 $\hat L_x, \hat L_y,\hat L_z$：
	\begin{equation}
		\hat L_x = - i\hbar (y \pdv{}{z} - z \pdv{}{y})
		\qquad \hat L_y = - i\hbar (z \pdv{}{x} - x \pdv{}{z})
		\qquad \hat L_z = - i\hbar (x \pdv{}{y} - y \pdv{}{x})
	\end{equation}
	角动量源于 $\hat {\bvec L} = \hat{\bvec r} \times \hat{\bvec p}$。
	其本征函数不容易在直角坐标系中写出，而一般在球坐标系中写为球谐函数。比较复杂，此处略去不谈。
	\item 能量算符 $\hat H$
	\begin{equation}
		\hat H  = \hat T + \hat V = \frac{(\hat p_x)^2 + (\hat p_y)^2 + (\hat p_z)^2}{2m} + V = -\frac{\hbar^2}{2m} \laplacian{~} + V(x,y,z,t)
	\end{equation}
	其中$\laplacian{~} = \pdv[2]{}{x} + \pdv[2]{}{y} + \pdv[2]{}{z}$。
	%根据Schrodinger方程
	%\begin{equation}
	%	i \hbar \pdv{\Psi}{t} = \hat H \Psi
	%\end{equation}
	%有人认为能量算符的另一种截然不同的写法是
	%\begin{equation}
	%	\hat H = i \hbar \pdv{}{t} 
	%\end{equation}
	%不过也有人不认同这种观点。
	由于能量算符的形式与$V$有关，因此不同势能下的本征函数也不同，得具体问题具体分析。
	在某些常见例子下，如无限深势阱、谐振子、氢原子模型中，能量算符具有可解析解的本征函数。
	\end{itemize}
	据说，在大部分情况下，
	只需将经典力学中某一物理量中的$x$, $p_x$等
	换成量子力学下的相应算符$\hat x$, $\hat p_x$，就能推出这一物理量的量子力学算符。
	例如经典力学中角动量是$\bvec L = \bvec r \times \bvec p$，那么相应替换算符，就得到$\hat {\bvec L} = \hat{\bvec r} \times \hat{\bvec p}$。

	%\subsection{算符互易性}
	%在Dirac中，两个算符是否互易，取决于他们似乎满足“交换律”。
	%\begin{equation}
	%	\hat A, \hat B \text{互易} \Leftrightarrow \hat A \hat B \Psi = \hat B \hat A \Psi 
	%\end{equation}
	%当然，由于矩阵乘法中不常有$AB=BA$，因此两个算符不一定互易。

\end{document}